ژانویه 19, 2021

تحلیل چند متغیره تابع چندکی و کاربردهای آن- قسمت ۳

1 min read

مقدمه
در این فصل ما چندک و تابع چندکی را برای حالت یک متغیره تعریف کرده و سپس تابع چندکی را به حالت چند متغیره تعمیم می دهیم.
۱-۱- چندک مرتبه
فرض کنید متغیر تصادفی دارای تابع توزیع باشد.پارامتر را چندک مرتبه برای یا متغیر تصادفی می نامیم ، هرگاه نامساوی دو طرفه زیر برقرار باشد:
این نامساوی دو طرفه بدین معنی است که مقدار احتمال در فاصله باز حداکثر و در فاصله نیم باز حداقل است.
اینک به حالات خاص زیر توجه کنید:
الف. اگر پیوسته واکیداً صعودی باشد، یعنی نمودار آن دارای خطوط افقی یا جهش نباشد، آنگاه نامساوی بالا تبدیل به تساوی شده و در این حالت پاسخ یکتای معادله زیر خواهد بود:
شکل (۱-۱) به خوبی بیانگر این موضوع می باشد.
شکل (۱-۱): چندک ام در یک توزیع پیوسته وقتی نمودار تابع توزیع اکیدا پیوسته باشد.
ب. اگر نمودار شامل یک یا چند خط افقی باشد، ممکن است برای بعضی از مقادیر یکتا نباشد. به عنوان مثال در شکل (۱-۲) تمام نقاط بازه ی می تواند به عنوان چندک تفسیر شود.
شکل (۱-۲): چندک ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای قطعه افقی باشد.
ج. اگر در یک یا چند نقطه دارای جهش باشد، ممکن است برای بعضی از مقادیر متفاوت یکسان باشد. برای درک بهتر موضوع به شکل زیر توجه کنید.
شکل (۱-۳): چندک ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای جهش باشد.
۱-۲-۱- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت یک متغیره
چندک ام یک تابع توزیع تک متغیره ی ، می باشد. میانه توسط محاسبه می شود و برای نقاط و بازه ای به فرم رابطه (۱-۱) را شکل می دهند که مجموع احتمال در خارج از بازه، باشد. این دیدگاه ما را به سمت تعریف ناحیه درونی چندک ام به صورت
(۱-۱)
هدایت می کند که به وضوح دارای احتمال است.
به عنوان مثال به ازای ناحیه ی درون چارکی تشکیل می شود و با میل دادن به سمت صفر میانه حاصل خواهد شد. وقتی که بین و رابطه ی برقرار باشد دو مقدار به صورت زیر بدست خواهد آمد:
,
های حاصل به عنوان نقاط مرزی ناحیه درونی چندک ام تلقی خواهند شد.
ناحیه ی درونی چندک ام برای اطلاعات چندک برای توزیع را به صورت کامل مشخص می کند. یک ویژگی بارز این ناحیه، تودرتو بودن آن است، بدین معنی که به ازای ناحیه درونی چندک ام زیر مجموعه ناحیه درونی چندک ام است.
برای یکسان سازی نمادها، با توجه به وجود تنها دو جهت در ، ، تابع چندکی جهت یافته از میانه را به صورت زیر تعریف می کنیم:
شکل زیر ناحیه ی درونی چندک ام در حالت یک متغیره را نشان می دهد.
شکل (۱-۴): ناحیه ی درونی چندک ام در حالت یک متغیره
در شکل (۱-۴) نقاط و نقاط مرزی هستند که ناحیه ی درون این بازه دارای احتمال و ناحیه ی خارج این بازه دارای احتمال می باشد.
۱-۲-۲- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت چند متغیره
برای تعریف تابع چندکی در حالت چند متغیره نیازمند تعریف میانه هستیم. روش های مختلفی برای محاسبه میانه در حالت چند متغیره وجود دارد (به عنوان مثال در بخش ۲-۲ به روش تابع عمق اشاره خواهد شد) حالا فرض می کنیم که میانه ی داده شده است و که به صورت زیر تعریف می شود:
همچنین فرض می کنیم خانواده ی که در آن برای ، و است، شامل ناحیه های تودرتو حول باشد. تابع چندکی جهت یافته از میانه به سادگی با شاخص گذاری هر نقطه روی کران ساخته می شود که به صورت مبسوط مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
شکل زیر، ناحیه های درونی را نشان می دهد که همگی حول مرکز یعنی میانه واقع شده اند.
شکل (۱-۵): ناحیه های درونی حول مرکز به طوریکه
با مشخص کردن نقاط روی ناحیه های مرزی و تابع چندکی جهت یافته از میانه حاصل می شود. به طور دقیق تر برای ، تعریف می شود و آنگاه توسط نقطه ی مرزی در جهت از مشخص می شود و یک ناحیه ی درونی چندک ام را ارائه می کند. کرانه های ، که کانتور نامیده می شود، تفسیر های مفیدی را به عنوان تابع چندکی جهت یافته از میانه دارند. ایده های متفاوت از میانه ی و شکل های متفاوت برای ناحیه های ما را به فرم های متفاوت تابع چندکی، سوق می دهند.
شکل (۱-۶): انتخاب یک ناحیه در بین ناحیه های تودر تو که کمترین احتمال بزرگتر از را دارد.
شکل (۱-۶) ناحیه های تودرتو را نشان می دهد و در اینجا ناحیه ای را نشان می دهد که در بین ناحیه های دیگر کمترین احتمال بزرگتر از را دارد و به این ناحیه، ناحیه ی درونی چندک ام گفته و به کرانه های کانتور می گوئیم.
خواص تابع چندکی جهت یافته از میانه در زیر بیان شده است:
۱- برای هر ثابت و به ازای همه ی ها، مجموعه شامل یک ناحیه ی درونی چندک ام با نقاط مرزی و میانه می باشد.
۲- برای هر جهت از فاصله ی نسبت به افزایشی است، که در آن نشان دهنده نرم اقلیدسی است.
۳- ناحیه های درونی چندک ام یا به ازای همه ی ها دارای ساختار و تفسیر مناسبی است.
برای راحتی کار، از این به بعد به جای نام کامل تابع چندکی جهت یافته از میانه، به اختصار از تابع چندکی نام می بریم.
فصل دوم
چندک ها بر اساس تابع عمق
۲-۱- مقدمه

منبع فایل کامل این پایان نامه این سایت pipaf.ir است

Copyright © All rights reserved. | Newsphere by AF themes.