ژانویه 25, 2021

منابع مقالات علمی : تحلیل چند متغیره تابع چندکی و کاربردهای آن- قسمت ۴

1 min read

همانگونه که قبلا متذکر شدیم، توسیع مفهوم چندک به داده های چند بعدی می تواند از چند منظر صورت گیرد، ما در این فصل این مفهوم را با استفاده از تابع عمق گسترش می دهیم. بدین منظور ابتدا تابع عمق را تعریف کرده و سپس با معرفی یک تابع عمق خاص به نام تابع عمق نیم فضا و به کارگیری آن، مفهوم چندک را برای متغیرهای چند بعدی معرفی می کنیم.
۲-۲- تابع عمق
تابع حقیقی مقدار و غیر منفی که بر روی تعریف شود و یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی ایجاد کند را یک تابع عمق گویند. منظور از مفهوم مرکزی و ترتیبی این است که بتوان نقطه مرکزی داده ها را مشخص کرده و ترتیبی برای داده ها در نظر گرفت. مرکز نقطه ای است که بیشترین عمق را دارا باشد. در صورت وجود چند نقطه با بیشترین عمق، میانگین این نقاط را مرکز می گیرند. با فاصله گرفتن از نقطه مرکزی عمق نقاط کاهش یافته و لذا یک رابطه ترتیبی در ایجاد می شود. لازم به ذکر است که توابع عمق متفاوتی وجود دارد و ما در این پایان نامه از تابع عمق نیم فضا بهره می جوئیم که در ادامه به آن اشاره می شود.
۲-۲-۱- تابع عمق آماری
فرض کنید یک تابع توزیع باشد. هر تابع که یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی بر اساس ایجاد می کند را یک تابع عمق آماری گویند.
فرض کنید یک تابع عمق آماری باشد. اگر به جای یک متغیر تصادفی قرار گیرد آنگاه تابع توزیع متغیر تصادفی به صورت معمول زیر تعریف می شود:
۲-۲-۱-۱- ناحیه ی درونی عمق
فرض کنید یک تابع عمق آماری باشد. ناحیه ی درونی عمق به صورت
معرفی می شود. لازم به ذکر است که
در ادامه یک تابع عمق آماری را ارائه و مفهوم تابع چندکی را توسط آن بیان می کنیم.
۲-۲-۱-۲- تابع عمق نیم فضا
وقتیکه یک نیم فضای بسته باشد، تابع عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
برای روشن تر شدن مفهوم تابع عمق نیم فضا، را در نظر بگیرید. یک صفحه به صورت های مختلفی به نیم صفحه افراز می شود. نیم صفحه ای را برمی گزیند که کمترین احتمال پوشش نقطه را داشته باشد.
۲-۲-۱-۲-۱- ناحیه ی درونی عمق نیم فضا
فرض کنید یک تابع احتمال روی باشد. در صورتیکه یک نیم فضای بسته باشد، ناحیه ی درونی عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
برای مثال، فرض کنید است، آنگاه ناحیه ای است که بین تمام نیم صفحه هایی که احتمال آنها از بزرگتر است، مشترک است.
شکل (۲-۱)، را برای توزیع نرمال دو متغیره با های متفاوت و شکل (۲-۲)، را برای توزیع نمایی دو متغیره با های متفاوت نشان می دهد.
شکل (۲-۱): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال دو متغیره
شکل (۲-۲): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی دو متغیره
۲-۲-۱-۳- ناحیه ی مرکزی ام
بیشترین عمق کرانه ای که دارای ناحیه های درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی است را توسط نشان می دهیم. لازم به ذکر است که کرانه همان کانتور است.
(۲-۱) .
با توجه به تعریف، چون نسبت به نزولی است بنابراین وقتی به صعود می کند ناحیه ی به نزول می یابد و داریم:
.
درستی رابطه فوق در زیر توضیح داده شده است.
فرض کنید یک تابع توزیع پیوسته با عمق باشد، داریم:
(۲-۲)
و اگر اکیدا صعودی باشد با توجه به روابط (۲-۱) و (۲-۲) خواهیم داشت:
اما در حالت کلی یعنی اگر شرط اکیدا صعودی را نداشته باشیم آنگاه:
با توجه به توضیحاتی که گفته شد، کوچکترین ناحیه ی درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی وجود دارد که توسط نمایش داده می شود و ناحیه ی مرکزی ام نامیده می شود.
۲-۲-۱-۴- ناحیه ی بیرونی ام
برای هر ناحیه ی بیرونی را توسط رابطه ی زیر تعریف می کنیم:
.
که در آن منظور از ، تکیه گاه می باشد.
کمترین عمق کرانه ای که احتمال ناحیه ی بیرونی بزرگتر از دارد را توسط نشان می دهیم:
با توجه به اینکه ، بنابراین داریم:
,
و در نتیجه
.
تعریف۲-۱- کانتور عمق
به کرانه یعنی نقاط مرزی ، کانتور عمق می گوئیم. علت این نامگذاری این است که ناحیه های درونی بر اساس تابع عمق ساخته شده اند.

دانلود متن کامل پایان نامه در سایت jemo.ir موجود است

Copyright © All rights reserved. | Newsphere by AF themes.