برای این منظور ابتدا به کمک رابطه‌ی (۴-۲۶) مقدار پارامتر α را تنها به کمک داده‌های مربوط به باتری جدید برآورد می‌کنیم که برابر ۹/۲×۱۰^۷ می‌شود. بعد از آن به کمک رویکرد بیز و با توجه به مدلی که ارائه شد از رابطه‌ی (۴-۱۲) مقدار α را تخمین می‌زنیم که مقدار ۵/۷×۱۰^۷ بدست می‌آید. با کمک مقادیر بدست آمده برای α و بر اساس رابطه‌ی (۴-۱۳) مقدار قابلیت اعتماد محاسبه می‌شود. برای درک بهتر شکل نمودار قابلیت اعتماد را بر حسب متغیر زمان برای سه حالت برآورد پارامتر α بر اساس داده‌های جدید (نمودار قرمز) ، برآورد بر اساس اطاعات قبلی (نمودار مشکی) و نهایتاً برآورد بر اساس رویکرد بیز و مدل ارائه شده که تلفیقی از دو حالت قبلی است (نمودار سبز)، رسم شده است.
شکل ‏۴-۱۵- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برحسب زمان برای باتری ۶۶ آمپر خودروی سمند
بر این اساس مدیر باید انتظار داشته باشد که باتری جدید تولید شده، نسبت به آن‌چه تصور می‌شد، دارای قابلیت اعتماد کمتری خواهد بود. طراحی باتری جدید به گونه‌ای بود که میانگین مدت زمان تا خرابی آن در حدود ۶۲۵ روز باشد. اما با توجه به اطلاعات باتری‌های قبل و داده‌های فعلی باتری جدید این میانگین در حدود ۵۸۰ روز برآورد می‌شود. در این‌جا رویکرد بیز به کمک داده‌های اندک فعلی آمده و بر اساس اطلاعات محصولات قبل و نظر متخصص پیش‌بینی نزدیک به واقعیت‌تری را برای قابلیت اعتماد ارائه می‌دهد.
مدیر با توجه به نتیجه حاصل می‌تواند ضمانت باتری جدید را برای مشتری تعیین کند. برای بیان اهمیت این موضوع فرض می‌کنیم با توجه به تمامی هزینه‌ها و محاسبات اقتصادی سیستم مدیر می‌خواهد ضمانت باتری جدید را تا زمانی تعیین کند که ۸۵% این باتری‌ها دچار هیچ‌گونه خرابی نشوند. مدیر می‌تواند دو رویکرد در نظر بگیرد؛ اولین رویکرد تصمیم‌گیری بر پایه اطلاعات باتری‌های قبل است که بر این اساس مدیر می‌تواند انتظار داشته باشد که ۸۵% باتری‌های تولید شده بیش از ۲۰۹ روز کار می‌کنند. به عبارتی ضمانت را برابر ۲۰۰ روز یا ۷ ماه در نظربگیرد. دومین رویکرد تصمیم‌گیری بر اساس داده های کم موجود از خرابی باتری جدید است که ۸۵% باتری‌های تولید شده در حدود ۳۶۶ روز کار خواهند کرد و ضمانت را یکساله اعلام کند. همان‌طور که ملاحظه می‌شود نتایج این دو رویکرد منطقی به نظر نمی‌رسد چراکه یکی تنها برپایه اطلاعات قبلی بوده و دیگری به داده‌های اندک موجود متکی است. بنابراین استفاده از مدل ارائه شده و تلفیق دو حالت فوق به کمک رویکرد بیز جواب دقیق تری می‌دهد. در این‌جا بر این اساس مدیر می‌تواند انتظار داشته باشد که ۸۵% باتری‌های تولید شده بیش از ۳۰۷ روز کار می‌کنند و ضمانت باتری جدید باید کمتر از یک سال باشد و تقریباً برابر ۱۰ ماه پیشنهاد می‌شود.

مثال کاربردی از دیدگاه مصرف‌کننده

مثالی که در این قسمت در نظر می‌گیریم مربوط به لامپ‌های روشنایی خیابان است. شرکت برق منطقه‌ای اصفهان وظیفه روشنایی خیابآن‌ها را بر عهده دارد. نوع جدیدی از این لامپ‌ به تازگی توسط شرکت خریداری شده و در بعضی از مناطق به صورت محدود جایگزین لامپ‌های خراب و یا کم نور شده است. سیاست شرکت برنامه‌ریزی نگهداری و تعمیرات و یا تعویض این نوع جدید از لامپ های خیابان است.
اطلاعات مربوط به انواع لامپ‌های قبلی نشان می‌دهد که به طور کلی طول عمر این لامپ‌ها از توزیع نمایی با پارامتر λ پیروی می‌کند که λ بیانگر طول عمرشان است. اطلاعات لامپ‌های قبلی نشان دهنده این موضوع است که طول عمر هر سری جدید از این لامپ‌ها نسبت به قبل بیشتر شده و با توجه به نظر کارشناسان و اطلاعات موجود، پارامتر λ خود دارای توزیع گاما با κ=۳/۳ و γ=۱۸۶۲ است. همان‌طور که اشاره شد شرکت برق منطقه‌ای از نوع جدیدی لامپ استفاده می‌کند و داده‌های کمی از طول عمر آن‌ها در دسترس است. از تعداد ۱۰۰۰ لامپی که وارد سیستم روشنایی خیابآن‌ها شده است، در حدود ۱۷۵تای آن‌ها تا زمان ۲۰۰۰ ساعت دچار خرابی شده و بقیه دارای سانسور زمان هستند. سوالی که مطرح می‌شود این است که پارامتر λ توزیع نرخ خرابی لامپ‌های جدید را چگونه در نظر بگیریم؟ قابلیت اعتماد لامپ جدید چگونه است؟ و در نهایت سیاست نگهداری و تعمیرات و یا تعویض چه‌طور باید اعمال شود؟
قبل از آن‌که وارد محاسبات مربوطه شویم ذکر این نکته ضروری است که در توزیع وایبال با فرض β=۱ و α=λ، این توزیع تبدیل به توزیع نمایی با پارامتر λ می‌شود. بنابراین با توجه به این نکته تمام محاسبات قبل قابل تعمیم به حالتی است که توزیع طول عمر محصول نمایی است.
جدول ۴-۲ نشان‌دهنده‌ی نتایج محاسبات مربوط به این مسئله است. همچنین شکل ۴-۱۵ نمودار قابلیت اعتماد بر حسب زمان برای سه حالت در نظرگرفته شده را برای لامپ‌ها نشان می‌دهد. همچون مثال قبل نمودار قرمز مربوط به داده‌های فعلی، نمودار مشکی مربوط به داده‌های قبلی و در نهایت نمودار سبز مربوط به حالت ترکیبی و استفاده از رویکرد بیز است.
جدول ‏۴-۲- برآورد λ در حالت‌های مختلف برای داده‌های لامپ روشنایی خیابان

شکل ‏۴-۱۶- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برحسب زمان برای لامپ روشنایی خیابان
بر این اساس شرکت باید انتظار داشته باشد که لامپ‌های جدید دارای قابلیت اعتماد کمتری نسبت به آن‌چه تصور می‌شد، خواهد بود. بنابراین با توجه به رویکرد بیز که از اطلاعات گذشته و نظر متخصص نیز برای پیش‌بینی قابلیت اعتماد بهره می‌گیرد، پیشنهاد می‌شود سیاست نگهداری و تعمیرات و یا تعویض لامپ‌های جدید بر پایه‌ی این روش صورت گیرد. به عبارتی با توجه به نتیجه جدول ۴-۲ طول عمر این لامپ‌ها برابر ۱۰۰۱۲ ساعت فرض شود و برنامه‌ریزی تعویض و یا نگهداری و تعمیرات برای آن‌ها صورت گیرد.
در این قسمت دو مثال کاربردی برای مدل ارائه شده در نظر گرفتیم. در مثال اول با توجه به اطلاعات و داده‌های برنا باتری کاربرد این روش از دید تولید کننده مطرح شد که برای مدیریت از جنبه تعیین دوره‌ی ضمانت اهمیت ویژه‌ای خواهد داشت. در مثال دوم از اطلاعات لامپ‌های روشنایی خیابان برای پیش‌بینی قابلیت اعتماد لامپ جدید تولید شده بهره گرفتیم و از دیدگاه مصرف کننده استفاده از رویکرد بیز برای ترکیب اطلاعات قبل و داده‌های جدید مورد مطالعه قرار گرفت که در مجموع بیان‌گر این موضوع است که استفاده از آمار بیز در پیش‌بینی قابلیت اعتماد با توجه به نظر خبره منجر به ارائه نتایج منطقی‌تری می‌شود.

فصل پنجم

فصل سوم: پیش‌بینی درصد افزایش قابلیت اعتماد بر اساس درصد افزایش پارامتر مقیاس در توزیع وایبال
در این بخش به بررسی حالتی می‌پردازیم که پارامتر مقیاس توزیع وایبال دارای توزیع احتمالی گسسته باشد. ابتدا فرض می‌کنیم بر اساس اطلاعات محصولات قبل تابع توزیع احتمال گسسته برای پارامتر مقیاس برازش می‌شود. در حالت اول به برآورد اولیه پارامتر مقیاس و پیش‌بینی قابلیت اعتماد محصول جدید می‌پردازیم. سپس برآورد بیز این پارامتر را زمانی‌که داده‌های طول عمر محصول جدید در اختیار است، محاسبه می‌کنیم.

برآورد قابلیت اعتماد بر اساس توزیع پیشین گسسته

تا این‌جا توزیع پیشین پارامتر مقیاس توزیع وایبال به صورت یکی از توزیع‌های پیوسته در نظر گرفته شد. مواقعی پیش می‌آید که برازش یک توزیع پیوسته به پارامتر α امکان‌پذیر نیست. در این حالت با توجه به اطلاعات قبل و نظر خبره می‌توان توزیع احتمالی گسسته به فرم زیر برای پارامتر α در نظر گرفت
(‏۵-۱)
این رابطه بیانگر آن است که پارامتر α_k دارای احتمال p_k است. بر این اساس می‌توان برآورد اولیه پارامتر مقیاس را برابر مقدار میانگین α_k در نظر گرفت. به عبارتی
(‏۵-۲)
وقتی داده‌های خرابی محصول بعد از گذشت چند ماه از معرفی آن به بازار در اختیار قرار گیرد، با توجه به روش ارائه شده در فصل قبل و به کمک قضیه بیز، می‌توان پارامتر α را برآورد کرد.
تابع چگالی پسین با توجه روابط (۴-۸) و (۵-۱) به صورت زیر بدست می‌آید
(‏۵-۳)