سايت مقالات فارسی – توسعه مدل جدیدی برای پیش بینی قابلیت اعتماد محصولات بر اساس رویکرد بیز- …

در این فصل مدل بیز برای پیش‌بینی قابلیت اعتماد سیستم‌ها معرفی می‌شود. ابتدا قضیه بیز شرح داده شده و سپس مدل و هدف از ارائه آن بیان می‌شود. در واقع با توجه به مطالب فصول قبل استفاده از روش بیز برای برآورد پارامتر توزیع نرخ خرابی مورد بررسی قرار می‌گیرد.

قضیه و مدل بیز

ابتدا در این قسمت مقدمه‌ای از نظریه بیز ارائه می‌شود. قضیه بیز به سوال زیر پاسخ میدهد که : « وقتی رخداد جدید E اتفاق می‌افتد، p(h) چگونه تغییر می‌کند؟» اگر  بیانگر احتمال رخداد h به شرط E باشد و  بیانگر احتمال رخداد همزمان هر دو رویداد باشد، بنابراین خواهیم داشت
(‏۴-۱)
و
(‏۴-۲)
با مساوی قرار دادن دو طرف روابط فوق خواهیم داشت
(‏۴-۳)
این رابطه به عنوان قضیه بیز شناخته می‌شود و بیان میکند که پارامتر h زمانیکه رویداد (شاهد) جدید E در دسترس است، به چه صورت تغییر می‌کند. شمای کلی از اساس قضیه بیز درشکل ۴-۱ آمده است.
اطلاعات جدید
مدل بیز
پسین
پیشین
شکل ‏۴-۱- شمای کلی از اساس قضیه بیز [۵]

استفاده از نظریه بیز در برآورد پارامترهای توزیع خرابی

ورودی اولیه برای روش بیز اطلاعات پیشین^[۵۹] است که از تجزیه و تحلیل داده‌های خرابی نسلهای قبلی محصول برآورد می‌شود و با کمک این اطلاعات و نیز نظر متخصص، توزیع پیشین پارامترهای توزیع وایبال^[۶۰] مربوط به نرخ خرابی‌ها به بدست می‌آید.
با معرفی محصول به بازار، داده‌های خرابی آن به مرور در دسترس قرار می‌گیرد. به کمک این داده‌ها، پارامتر مقیاس^[۶۱] توزیع وایبال به روش حداکثر درستنمایی تخمین زده می‌شود [۸] (روش حداکثر درستنمایی در پیوست IV آمده است). سپس با کمک روش بیز بر اساس اطلاعات گذشته، داده‌های فعلی و نظر خبره را با هم ترکیب نموده و نتایج جدید و نزدیک به واقعیت‌تری استخراج می‌شود.
قبل از شرح جزئیات مدل، ابتدا اطلاعات ورودی به مدل و خروجی از آن را مورد بررسی قرار میدهیم.

اطلاعات ورودی به مدل

اطلاعات ورودی به مدل از دو بخش تشکیل شده است. اطلاعات مربوط به محصولات قبلی و اطلاعات مربوط به محصول جدید بعد از معرفی آن به بازار. در ادامه به توضیح این دو دسته می‌پردازیم [۵].
اطلاعات محصولات گذشته: قبل از آنکه محصول جدید به بازار معرفی شود، اطلاعات مربوط به محصولات گذشته موجود است. این اطلاعات شامل داده‌های مربوط به طول عمر محصولات قبلی و اطلاعات تعمیر آن‌هاست. به عبارتی داده‌های مربوط به نرخ خرابی محصولات قبل در دسترس است. با توجه به این اطلاعات برای هر محصول پارامترهای توزیع وایبال قابل برآورد است. بدین ترتیب برای هر محصول یک مقدار برای پارامترهای α و β بدست میآید. همانطور که قبلاً بیان شد، فرض بر این است که پارامتر β مقدار ثابتی داشته باشد. بنابراین برای هر محصول تنها پارامتر α تخمین زده می‌شود. با کمک این نتایج می‌توان قابلیت اعتماد اولیه محصول جدید را بدست آورد. به عبارتی می‌توان میانگینی از α محصولات قبل را به عنوان برآورد اولیه پارامتر α محصول جدید در نظر گرفته و قابلیت اعتماد آن را محاسبه کرد.
اطلاعات محصول جدید: بعد از گذشت مدتی از معرفی محصول جدید به بازار، داده‌های مربوط به طول عمر آن بدست می‌آید. مدل بیز اطلاعات محصولات قبل را با دادههای جدید بههنگام میکند، تا اینکه برآورد دقیقتری از قابلیت اعتماد محصول بدست آید.

اطلاعات خروجی از مدل

خروجی این مدل قابلیت اعتماد محصول بعد از به‌هنگام سازی است. در واقع داده‌های قابلیت اعتماد محصولات قبلی و محصول جدید به کمک روش بیز ترکیب شده و قابلیت اعتماد محصول جدید پیش‌بینی می‌شود. این برآورد عدم قطیعت کمتری نسبت به برآورد اولیه بر پایه محصولات قبل دارد، چراکه بر اساس اطلاعات بیشتری بدست آمده است.

مدل وایبال

قبل از ارائه مدل اشاره‌ای به توزیع احتمالی وایبال خواهیم داشت. در نظریه قابلیت اعتماد، توزیع وایبال، بیشترین کاربرد را در مدلسازی خرابی محصولات دارد. از مزایای این توزیع انعطافپذیری زیاد و قابل استفاده بودن آن برای تعداد نمونه کم میباشد. توزیع وایبال از جمله توزیعهای پیوسته است که در سال ۱۹۵۱ توسط ولودی وایبال^[۶۲] ارائه شد. تابع توزیع تجمعی احتمال وایبال با پارامترهای α و β به صورت زیر است
(‏۴-۴)
و تابع چگالی توزیع وایبال به فرم زیر است
(‏۴-۵)
که α را پارامتر مقیاس و β را پارامتر شکل^[۶۳] توزیع می‌نامند. برای توزیع وایبال میانگین مدت زمان تا خرابی (MTTF) از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید
(‏۴-۶)
این رابطه بیان‌گر این موضوع است که میانگین مدت زمان تا خرابی محصولی که از توزیع وایبال پیروی می‌کند، با پارامتر مقیاس زمانی‌که مقدار β مشخص است، رابطه‌ی مستقیم دارد.

بررسی مسئله و ارائه مدل

همان‌طور که در فصل قبل نیز اشاره شد، تحقیقات اندکی در رابطه با استفاده از نظریه‌ی بیز در پیش‌بینی قابلیت اعتماد محصولات صورت گرفته است. کالیشک در پایان‌نامه‌ی خود [۵] به ارائه مدلی بر اساس نظریه بیز و توزیع پیشین نرمال پرداخته است. مدل ارائه شده دقیق نیست چراکه برای پارامتر α از توزیع وایبال، توزیع پیشین نرمال در نظر گرفته شده و این فرض عاری از اشکال نیست زیرا پارامتر مقیاس در توزیع وایبال مقداری بزرگتر از صفر دارد در حالی‌که توزیع نرمال دارای بازه‌ی (-∞,+∞) است. بر این اساس و با توجه به [۳۴] و در نظر گرفتن توزیع‌های پیشین مختلف برای پارامتر مقیاس توزیع وایبال، بر اساس نظرات متخصصین مختلف، در این بخش به ارائه مدلی برای برآورد این پارامتر می‌پردازیم. لازم به ذکر است در پیوست I به صورت کامل هر یک از توزیع‌های آماری به کار گرفته شده در این قسمت، شرح داده شده است.

توزیع گاما^[۶۴]

فرض می‌کنیم پارامتر α دارای توزیع گاما با میانگین κγ باشد. به عبارتی
(‏۴-۷)
تعداد n داده خرابی مربوط به n موجود در دسترس است. با فرض داشتن توزیع وایبال برای طول عمر موجود، تابع درستنمایی به صورت زیر خواهد بود
(‏۴-۸)
به طور کلی با توجه به قضیه بیز که قبلاً به آن اشاره شد، تابع چگالی پسین^[۶۵] از رابطه‌ی زیر محاسبه می‌شود