توسعه مدل جدیدی برای پیش بینی قابلیت اعتماد محصولات بر اساس رویکرد بیز- …

(‏۴-۹)
و در نهایت با جایگزینی روابط (۴-۷) و(۴-۸) در رابطه‌ی فوق و توجه به ثابت بودن β، تابع چگالی پسین برای این توزیع به صورت زیر بدست می‌آید
(‏۴-۱۰)
به روش تابع زیان مربع خطا (پیوست II)، برآورد بیز پارامتر α به صورت رابطه‌ی زیر خواهد بود
(‏۴-۱۱)
با حل انتگرال رابطه‌ی (۴-۱۱) مقدار پارامتر α به صورت زیر محاسبه می‌شود
(‏۴-۱۲)
نتیجه‌ی این انتگرال به صورت تابع بسل نوع دوم بدست می‌آید که در پیوست III به شرح آن پرداختیم. حل انتگرال‌ها و کلیه‌ی روابط ریاضی به کمک نرم‌افزار Mathematica صورت گرفته است. پس از برآورد پارامتر α ، مقدار قابلیت اعتماد از رابطه‌ی زیر بدست آید
(‏۴-۱۳)
همان طور که می‌دانید و با توجه به پیوست I توزیع نمایی از خانواده توزیع گاما است. اگر در توزیع گاما پارامتر κ=۱ و γ=λ باشد توزیع گاما به توزیع نمایی با پارامتر λ تبدیل می‌شود که همانند توزیع گاما روابط زیر برای توزیع نمایی بدست می‌آید
فرض می‌کنیم پارامتر α دارای توزیع نمایی با میانگین λ باشد. به عبارتی
(‏۴-۱۴)
با استفاده از رابطه(۴-۸) و(۴-۱۴) و توجه به این نکته که β مقدار ثابتی دارد، تابع چگالی پسین به صورت زیر بدست می‌آید
(‏۴-۱۵)
برآورد بیز پارامتر α از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید
(‏۴-۱۶)
با حل انتگرال رابطه‌ی (۴-۱۶) مقدار پارامتر α به صورت زیر محاسبه می‌شود
(‏۴-۱۷)
در این‌جا نیزبا برآورد پارامتر α مقدار قابلیت اعتماد به سادگی بدست می‌آید.

توزیع گامای معکوس^[۶۶]

فرض می‌کنیم پارامتر α دارای توزیع گامای معکوس با میانگین   باشد. به عبارتی
(‏۴-۱۸)
به عبارتی با استفاده از رابطه(۴-۸) و(۴-۱۸) و باز هم با توجه به ثابت بودن β، تابع چگالی پسین به صورت زیر بدست می‌آید
(‏۴-۱۹)
و برآورد بیز پارامتر α از رابطه‌ی (۴-۲۰) بدست می‌آید
(‏۴-۲۰)
با حل انتگرال‌های فوق مقدار پارامتر α به صورت زیر محاسبه می‌شود
(‏۴-۲۱)
در جواب این انتگرال تابع گاما بدست آمده که در پیوست III توضیح داده ‌شده است. با تخمین پارامتر α قابلیت اعتماد بدست می‌آید.

توزیع نرمال قطع شده^[۶۷]

و بالاخره فرض می‌کنیم پارامتر α دارای توزیع نرمال قطع شده با میانگین μ و انحراف معیار σ باشد. به عبارتی
(‏۴-۲۲)
با استفاده از رابطه(۴-۸) و(۴-۲۲) و نیز توجه به ثابت بودن β، تابع چگالی پسین به صورت زیر بدست می‌آید
(‏۴-۲۳)
بنابراین برآورد بیز پارامتر α از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید
(‏۴-۲۴)
انتگرال رابطه‌ی (۴-۲۳) جواب صریح ندارد و حل آن به کمک روش‌های عددی میسر است. پس از برآورد پارامتر α مقدار قابلیت اعتماد به سادگی قابل محاسبه است.

بررسی رفتار پارامتر مقیاس و تابع قابلیت اعتماد با توجه به توزیع‌های پیشین مختلف

در این بخش به بررسی رفتار پارامتر مقیاس و تابع قابلیت اعتماد با توجه به توزیع‌های پیشین مطرح شده، می‌پردازیم. برای سه توزیع پیشین نمایی، گاما و گامای معکوس که از حل انتگرال‌های بخش ۴-۸ ، جواب صریحی برای پارامتر α بدست آمد، نمودار تغییرات پارامتر   ، بر حسب مجموع طول عمرها به توان β (   ) که به صورت خلاصه با X نشان داده می‌شود، و پارامتر توزیع های پیشین که بر اساس میانگین α حاصل از محصولات قبلی برای دوحالت n=10 و n=100 رسم می‌کنیم. این نمودارها به ترتیب در شکل ۴-۲ و ۴-۳ رسم شده‌ است.
شکل ‏۴-۲- نمودار تغییرات پارامتر   در حالت n=10